Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{ax}}$，g（x）=e^axf′（x）在[0，2]上单调递增（a＞0）．
（1）求a的最大值；
（2）在a取最大值的条件下，求证：当x₁+x₂=6且0＜x₁＜3时，有f（x₁）＜f（x₂）．

Answer 1

分析 （1）求导，在[0，2]上单调递增（a＞0），得导函数g'（x）＞0，求出a的最大值．
（2）构造函数h（x）=3lnx-3ln（6-x）-2x+6，求出导函数，利用导函数判断函数h（x）的单调性，进而得出
h（x₁）＜0，从而得出结论．

解答 解：（1）g（x）=e^axf′（x）
=3x²-ax³
∴g'（x）=6x-3ax²
=-3x（ax-2）
在[0，2]上单调递增（a＞0）
∴$\frac{2}{a}$≥2
∴a≤1
故a的最大值为1；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$
令h（x）=3lnx-3ln（6-x）-2x+6 x∈（0，3）
∴h'（x）=$\frac{3}{x}$+$\frac{3}{6-x}$-2
=$\frac{2（x-3）^{2}}{x（6-x）}$
当 x∈（0，3）时，h'（x）＞0，h（x）递增
∴h（x）＜h（3）=0
∵0＜x₁＜3
∴h（x₁）＜0
∴3lnx₁-3lnx₂-x₁+6-x₁＜0
即ln$\frac{{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{2}}^{3}}$＜x₁-x₂
∴f（x₂）＞f（x₁）

点评 考察了导函数的正负与原函数单调性的关系和利用构造函数的方法证明问题．