Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n，
（3）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$，求数列{c_n}的最大项．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，结合b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，得b_n+1-b_n=1，即数列{b_n}是等差数列；
（2）由数列{b_n}是等差数列求得数列{b_n}的通项公式，代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，可得${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．然后利用错位相减法求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）把{a_n}的通项公式代入c_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$，整理后利用数列的函数特性可得数列{c_n}的最大项是第二项和第三项，等于$\frac{4}{3}$．

解答 （1）证明：由a_n+1=2a_n+2ⁿ，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1$，
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，∴有b_n+1-b_n=1，即数列{b_n}是等差数列；
（2）解：由数列{b_n}是等差数列，得${b}_{n}={b}_{1}+1×（n-1）=\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}+n-1=1+n-1$=n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=n，则${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．
∴${S}_{n}=1×{2}^{0}+2×{2}^{1}+…+（n-1）{2}^{n-2}+n{2}^{n-1}$，
$2{S}_{n}=1×{2}^{1}+2×{2}^{2}+…+（n-1）{2}^{n-1}+n{2}^{n}$，
两式作差得：$-{S}_{n}=1+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}-n{2}^{n}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n{2}^{n}={2}^{n}-1-n{2}^{n}$，
∴${S}_{n}=（n-1）{2}^{n}+1$；
（3）解：c_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=$n•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
${c}_{1}=1，{c}_{2}={c}_{3}=\frac{4}{3}$，
当n≥3时，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}=\frac{（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}}{n（\frac{2}{3}）^{n-1}}=\frac{2}{3}\frac{n+1}{n}＜1$．
∴数列{c_n}的最大项是第二项和第三项，等于$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．