Question

8．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则△ABC的面积的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理化简已知的式子，由面积公式可得a²+4b²=12S，运用条件和基本不等式求出S的最小值．

解答 解：由正弦定理知，asinA+4bsinB=6asinBsinC即为a²+4b²=6absinC，
因为S=$\frac{1}{2}$absinC，所以a²+4b²=12S，
由a+2b=4得，a²+4b²=（a+2b）²-4ab=16-4ab，
则4ab=16-12S，
因为4ab≤2（$\frac{a+2b}{2}$）²=8，
所以16-12S≤8，解得S≥$\frac{2}{3}$，当且仅当a=2b=2，取得等号．
此时a=2、b=1，S取得最小值为$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查正弦定理及面积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，考查化简、变形能力，属于中档题．