Question

3．设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（1）若x=e为y=f（x）的极大值点，求实数a；
（2）求实数a的取值范围，使得对?∈x[1，e²]，恒有f（x）≤4e²成立．

Answer 1

分析 （1）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．
（2）对x[1，e²]，进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范围

解答 解：（1）f′（x）=2（x-a）lnx+$\frac{（x-a）^{2}}{x}$
=（x-a）（2lnx+1-$\frac{a}{x}$）
因为x=e是f（x）的极大值点
所以f'（e）=（e-a）（3-$\frac{a}{e}$）=0
解得a=e 或a=3e，经检验，a=e时符合题意，
所以a=e；
（2）f（e²）=2（e²-a）2≤4e²
解得：e²-$\sqrt{2}$e≤a≤e²+$\sqrt{2}$e
由（1）知f′（x）=2（x-a）lnx+$\frac{（x-a）^{2}}{x}$
=（x-a）（2lnx+1-$\frac{a}{x}$）
令h（x）=2lnx+1-$\frac{a}{x}$
∴h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0；
h（　e²　）=5-$\frac{a}{{e}^{2}}$＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x₀
则1＜x₀＜e²，1＜x₀＜a，从而，当x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₀，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₀）内是增函数，
在（x₀，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数．
所以要使得对任意的x∈[1，e²]，恒有f（x）≤4e²成立只要
f（x₀）=（x₀-a）²lnx₀≤4e²
f（e²）=2（e²-a）2≤4e²
有h（x0）=2lnx0+1-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0得a=2x0lnx0+x0
将它代入f（x₀）=（x₀-a）²lnx₀≤4e²
得4${{x}_{0}}^{2}$lnx03≤4e2
又x₀＞1，注意到函数4x²ln³x在（1，+∞）上是增函数故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，
由f（e²）=2（e²-a）2≤4e²
解得：e²-$\sqrt{2}$e≤a≤e²+$\sqrt{2}$e
所以得e²-$\sqrt{2}$e≤a≤3e、

点评 函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系，不等式的基础知识．难点是推理论证能力和分类讨论能力．解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，