Question

13．（1）当x＞0时，研究函数f（x）=1n（1+$\frac{1}{x}$）-$\frac{2}{x+1}$的单调性，极值和零点的个数；
（2）从点（1，1）引曲线y=x1n（1+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的切线．能引出几条？

Answer 1

分析 （1）求导数，$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{（x+1）^{2}（{x}^{2}+x）}$，根据x²-1在（0，+∞）上的符号即可得出f′（x）的符号，从而得出f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而极值为f（1）=ln2-1，显然极值小于0，然后根据x趋向0和x趋向正无穷时f（x）的取值情况便可得出该函数零点个数；
（2）求导数，$y′=ln（1+\frac{1}{x}）-\frac{1}{x+1}$，可设切点为（m，$mln（1+\frac{1}{m}）$），从而便可得出切线的斜率为$ln（1+\frac{1}{m}）-\frac{1}{m+1}$，从而可以写出切线方程，而点（1，1）在切线上，从而带入切线方程便可以得到$ln（1+\frac{1}{m}）-\frac{2}{m+1}=0$，而根据（1）中f（x）零点的个数便可判断该方程解的个数，从而得出切点的个数，这样便可得出切线个数．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{x}}+\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{（x+1）^{2}（{x}^{2}+x）}$；
∴0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
∴x=1时，f（x）取得极小值ln2-1；
∵极小值ln2-1＜0，x趋向0时，f（x）趋向正无穷；x趋向正无穷时，f（x）趋向0；
∴f（x）和x轴只有一个交点；
∴f（x）有1个零点；
（2）$y′=ln（1+\frac{1}{x}）+\frac{x}{1+\frac{1}{x}}•（-\frac{1}{{x}^{2}}）$=$ln（1+\frac{1}{x}）-\frac{1}{x+1}$；
设从点（1，1）引的切线的切点为（m，$mln（1+\frac{1}{m}）$），m＞0，则切线的斜率k=$ln（1+\frac{1}{m}）-\frac{1}{m+1}$；
∴切线方程为：$y-mln（1+\frac{1}{m}）$=$[ln（1+\frac{1}{m}）-\frac{1}{m+1}]（x-m）$；
∵（1，1）在切线上；
∴$1-mln（1+\frac{1}{m}）$=$[ln（1+\frac{1}{m}）-\frac{1}{m+1}]（1-m）$；
∴$1=\frac{m}{m+1}-\frac{1}{m+1}+ln（1+\frac{1}{m}）$；
即$ln（1+\frac{1}{m}）-\frac{2}{m+1}=0$；
由（1）知该方程只有一个解；
∴只有一个切点；
∴能引1条切线．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，函数极值的概念，根据导数求极值的方法和过程，以及函数零点的概念，函数在切点处的导数和切线斜率的关系，直线的点斜式方程，方程的解和函数零点的关系．