Question

15．已知函数y=f（x）=4^x-3×2^x+4．
（1）设t=2^x，x∈[-2，2]，求t的最大值与最小值；
（2）若x∈[-2，2]时，f（x）＜m（m-2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设t=2^x，x∈[-2，2]，则t∈[$\frac{1}{4}$，4]．y=t²-3t+4，求出对称轴，判断单调性，即可得到最值；
（2）由题意可得，m（m-2）＞f（x）的最大值，由（1）可得m的不等式，由二次不等式的解法即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数y=f（x）=4^x-3×2^x+4，
设t=2^x，x∈[-2，2]，则t∈[$\frac{1}{4}$，4]．
y=t²-3t+4=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，y取得最小值$\frac{7}{4}$，
当t=4时，y=8；当t=$\frac{1}{4}$时，y=$\frac{53}{16}$．
即有t=4，即x=2，y取得最大值8；
（2）由题意可得，m（m-2）＞f（x）的最大值，
由（1）可得f（x）的最大值为8，
即有m（m-2）＞8，
解得m＞4或m＜-2．
即有实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．