Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．
（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；
（2）求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F﹣PC﹣B的大小．

Answer 1

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴．
∴．
又∵，
∴=．
故异面直线AE与DP所成角的大小为
（2）．
∴=（﹣1）×2+0×2+（﹣1）×（﹣2）=0，
∴EF⊥PB．
∵=（﹣1）×2+0×0+（﹣1）×（﹣2）=0，
∴EF⊥PC．
又∵PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（3）设平面PFC的法向量为m=（x，y，z），
则
令z=1，则m=（1，2，1）．
由（2）知平面PBC的法向量为．
．
则二面角F﹣PC﹣B的大小为为．