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已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦被焦点分成长为m、n的两部分,求证:.

证明:①设焦点弦与抛物线交于A、B两点,且AB:y=k(x-),则

得k2x2-(k2p+2p)x+=0.

∴x1+x2=.

又由抛物线定义可得

m+n=x1+x2+p=,

m·n=(x1+)(x2+)=,

.

②若k不存在,则AB方程为x=,显然符合本题.

综合①②知原结论得证.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.
(1)求抛物线上任意一点Q到定点N(2p,0)的最近距离;
(2)过点F作一直线与抛物线相交于A,B两点,并在准线l上任取一点M,当M不在x轴上时,证明:
kMA+kMBkMF
是一个定值,并求出这个值.(其中kMA,kMB,kMF分别表示直线MA,MB,MF的斜率)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•聊城一模)已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(2p,0)的直线与抛物线相交于A,B,
OA
OB
=
0
0

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0),M(2p,0),A、B是抛物线上的两点.求证:直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB,其中O是坐标原点.

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