Question

已知：函数f（x）=2cos²x+asinxcosx，f=0．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（III）若函数f（x）的图象按向量m=平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，f=2×+a××=0，
∴a=﹣2．
（Ⅱ）函数f（x）=2cos²x+asinxcosx=（cos2x+1）﹣sin2x=2cos（2x+）+1，
故最小正周期T=．
令 2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈z，
解得 kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈z．
故函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．
（Ⅲ）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），
设该点是由函数f（x）图象上的点P′（x′，y′）按向量 =（，﹣1）平移后所得，
则 ，
∴．
代入 y′=2cos（2x′+）+1中可得：
y=2cos2x，
∴g（x）=2cos2x．