Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和S_n=pn²+2n（n∈N^*）．
（I）求p的值及a_n；
（II）若bn=

2

(2n-1)an

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使Tn＞

9

10

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

（I）（法一）∵{a_n}的等差数列∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=na1+

n(n-1)

2

×2=n2+(a1-1)n
又由已知S_n=pn²+2n，
∴p=1，a₁-1=2，
∴a₁=3，
∴a_n=a₁（n-1）d=2n+1    
∴p=1，a_n=2n+1；
（法二）由已知a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，即a₁+a₂=4p+4，
∴a₂=3p+2，
又此等差数列的公差为2，
∴a₂-a₁=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a₁=p+2=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，a_n=2n+1；
（法三）由已知a₁=S₁=p+2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²+2n-[p（n-1）²+2（n-1）]=2pn-p+2
∴a₂=3p+2，
由已知a₂-a₁=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a₁=p+2=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，a_n=2n+1；
（II）由（I）知bn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+ (

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

∵Tn＞

9

10

∴

2n

2n+1

＞

9

10

，解得n＞

9

2

   又∵n∈N₊
∴n=5