Question

（2007•宝山区一模）如图，同一平面内的三条平行直线l₁，l₂，l₃，l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为2，若正三角形的三个顶点A、B、C分别在这三条直线上，则此正三角形的面积为

7 3

3

．

Answer 1

分析：欲求正三角形的面积，只需求出正三角形的边长，而在几何中求三角形的边长，须把它放入其它三角形中通过解三角形来求，可过B点作直线EF垂直与l₁，l₂，l₃，交l₁于点E，交l₃于F，的到的两个直角三角形△ABE与△CBF中，都含有正三角形的边长，且∠ABE+∠CBF=120°，就可借助这两个三角形中的边角关系，求出正三角形边长，再用三角形的面积公式求出面积．

解答：解：过B点作直线EF垂直与l₁，l₂，l₃，交l₁于点E，交l₃于点F，
则BE=1，BF=2，设正三角形ABC边长为a
设∠ABE=θ，则∠CBF=120°-θ
在Rt△ABE中，BE=ABcosθ=acosθ=1
在Rt△CBF中，BF=BCcos（120°-θ）=a（cos120°cosθ+sin120°sinθ）=2
解得，tanθ=

5

3

∴cosθ=

3

28

，∴a=

28

3

∴S△ABC=

1

2

a2sin60°=

1

2

×

28

3

×

3

2

=

7 3

3

故答案为

7 3

3

点评：本题主要考查了三角公式在解三角形中的应用，需要学生具备识图能力，转化的能力．