Question

已知函数f（x）对于?x∈R都有f（x+1）=-f（x），当-1＜x＜1时，f（x）=x³，则函数g（x）=f（x）-lg|x|的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意可知函数f（x）的周期为2，且f（0）=f（1）=f（2）=f（-1）=f（-2）=…=0；作出函数f（x）与函数lg|x|的图象即可．

解答： 解：∵对于?x∈R都有f（x+1）=-f（x），
∴函数f（x）的周期为2；
函数g（x）=f（x）-lg|x|的零点个数可化为
函数f（x）与函数lg|x|的交点的个数．
又∵-1＜x＜1时，f（x）=x³，
f（0）=f（1）=f（2）=f（-1）=f（-2）=…=0；
其图象如下：

则共有：12个交点．
故答案为：12．

点评：本题考查了学生的化简能力及作图能力，注意f（0）=f（1）=f（2）=f（-1）=f（-2）=…=0，属于基础题．