【答案】
分析:(1)当M为棱PA中点时,证明平面PBC内的直线PB与平面外的中心OM平行,即可证明OM∥平面PBC;
(2)连接OC,OP,要证平面PAB⊥平面ABC只需证明,平面PAB内的直线PO垂直平面ABC,即可;
(3)建立空间直角坐标系,求出平面PBC的法向量和平面ABC的一个法向量,利用二者的数量积求二面角P-BC-A的余弦值.
解答:解:
(Ⅰ)当M为棱PA中点时,OM∥平面PBC.
证明如下:∵M,O分别为PA,AB中点,∴OM∥PB
又PB?平面PBC,OM?平面PBC∴OM∥平面PBC.(4分)
(Ⅱ)连接OC,OP
∵
,O为AB中点,AB=2,
∴OC⊥AB,OC=1.
同理,PO⊥AB,PO=1.
又
,
∴PC
2=OC
2+PO
2=2,∴∠POC=90°.∴PO⊥OC.
∵PO⊥OC,PO⊥AB,AB∩OC=O,
∴PO⊥平面ABC.
∵PO?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABC.(9分)
(Ⅲ)如图,建立空间直角坐标系O-xyz.
则B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
∴
,
.
由(Ⅱ)知
是平面ABC的一个法向量.
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则
.
令z=1,则x=1,y=1,
∴平面PBC的一个法向量n=(1,1,1).
∴
.
∵二面角P-BC-A的平面角为锐角,
∴所求二面角P-BC-A的余弦值为
.(14分)
点评:本题考查平面与平面垂直的判定,直线与平面的平行,二面角的求法,考查空间想象能力 逻辑思维能力,是中档题.