Question

【题目】已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边上，记该点为E，且折痕的两端点M，N分别在边上.设，的面积为S.

（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；

（2）求l的最小值及此时的值；

（3）问当θ为何值时，的面积S取得最小值？并求出这个最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2），的最小值为.（3）时，面积取最小值为

【解析】

（1）,利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式；,,则,即可得到的范围；

（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解；

（3）由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.

解:（1）,

故.

因为,所以，,

所以,

又,,则,所以,

所以

（2）记,

则,

设,,则,

记,则,

令,则,

当时,；当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,

故当时取最小值,此时,的最小值为.

（3）的面积,

所以,设,则,

设,则,令,,

所以当时,；当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,

故当,即时,面积取最小值为