Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=x+2．
（1）若f（g（a））=g（f（-1）），求a的值；
（2）解不等式f（1-x²）＞f（2x）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得g（f（-1））=g（1+1）=2+2=4，从而化为f（g（a））=4，从而解得．
（2）由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＞0}\\{2x≤0}\end{array}\right.$或1-x²＞2x＞0，从而解得．

解答 解：（1）g（f（-1））=g（1+1）=2+2=4，
∴f（g（a））=g（f（-1））=4，
∴g²（a）+1=4，
故g（a）=$\sqrt{3}$，g（a）=-$\sqrt{3}$（舍去），
故a+2=$\sqrt{3}$，
故a=$\sqrt{3}$-2．
（2）由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$的性质可得，
f（1-x²）＞f（2x）可化为
$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＞0}\\{2x≤0}\end{array}\right.$或1-x²＞2x＞0，
解得，-1＜x＜$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．