Question

16．函数f₁（x）=x，f₂（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$，f₃（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$+$\frac{{x}^{5}}{120}$，f₄（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$+$\frac{{x}^{5}}{120}$-$\frac{{x}^{7}}{5040}$，f₅（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$+$\frac{{x}^{5}}{120}$-$\frac{{x}^{7}}{5040}$+$\frac{{x}^{9}}{362880}$，依次称为f（x）=sinx在[0，π]上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数．以此类推，请将f（x）=sinx的n项多项式逼近函数f_n（x）在横线上补充完整：f_n（x）=$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+{（-1）^{n-1}}\frac{{{x^{2n-1}}}}{（2n-1）!}$．

Answer 1

分析 由函数f（x）=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数，分析各项中符号，分子，分母的变化规律，归纳推理后可得f（x）=sinx的n项多项式逼近函数f_n（x）的解析式

解答 解：由函数f₁（x）=x，f₂（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$，f₃（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$+$\frac{{x}^{5}}{120}$，f₄（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$+$\frac{{x}^{5}}{120}$-$\frac{{x}^{7}}{5040}$，f₅（x）=x-$\frac{{x}^{3}}{6}$+$\frac{{x}^{5}}{120}$-$\frac{{x}^{7}}{5040}$+$\frac{{x}^{9}}{362880}$，可得函数的解析式中共有2n-1项，其中各项符号由（-1）^n-1确定；分子为x^2n-1，分母为（2n-1）!，
∴f_n（x）=$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+{（-1）^{n-1}}\frac{{{x^{2n-1}}}}{（2n-1）!}$．
故答案为：$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+{（-1）^{n-1}}\frac{{{x^{2n-1}}}}{（2n-1）!}$．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，其中根据函数f（x）=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数，分析各项中符号，分子，分母的变化规律是解答的关键．