Question

【题目】已知椭圆C： 的左焦点F为圆的圆心，且椭圆C上的点到点F的距离最小值为。

（I）求椭圆C的方程；

（II）已知经过点F的动直线与椭圆C交于不同的两点A、B，点M坐标为（），证明： 为定值。

Answer 1

【答案】（1）（2）为定值，且定值为

【解析】试题分析:（1）椭圆C上的点到点F的距离最小值为，即，根据圆标准方程可得圆心坐标，即得，解得，b=1（2）以算代证：设， ，直线的方程为，则利用向量数量积得，结合直线方程化简得，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得为定值

试题解析：解：(Ⅰ)因为圆的圆心为，半径为，所以椭圆的半焦距，又椭圆上的点到点F的距离最小值为

所以，即

所以，所求椭圆方程为：

(Ⅱ)①当直线与轴垂直时，直线的方程为： ，

可求得，

此时，

②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

由 得

设， 则 ， ，则

所以为定值，且定值为。