Question

【题目】已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.

(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；

(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.

则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上是增函数；

当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.

(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln x＋－1.

由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.

∴f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.

由(1)知，ln x－x＋1<0(x>0，且x≠1)．

当0<x<1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋(ln x－x＋1)<0，

>0.

当x>1时，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x>0，∴>0.

综上可知，>0.