Question

已知函数f（x）=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin²

x

4

+

3

．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出相应的x取值集合；
（2）令f（α+

π

3

）=

10

5

，且α∈（0，π），求tan2α的值．

Answer 1

（1）∵f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），…（2分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．…（4分）
因为，-1≤sin（

x

2

+

π

3

）≤1 所以，f（x）的最大值为2．…（6分）
相应值的集合为{x|x=4kπ+

π

3

，k∈Z}  …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

），f（α+

π

3

）=

10

5

，
2sin[

1

2

（α+

π

3

）+

π

3

]=2sin（

α

2

+

π

2

）=2cos

α

2

，
∴2cos

α

2

=

10

5

，所以cos

α

2

=

10

10

，cosα=2cos²α-1=-

4

5

       …（10分）
又因为α∈（0，π），所以sinα=

1-cos2α

=

3

5

，
∴tanα=

sinα

cosα

=-

3

4

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

24

7

              …（13分）