Question

设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(m，cos2x)，

b

=(1+sin2x，1)，x∈R，且y=f（x）的图象经过点(

π

4

，2)．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．
（Ⅲ）f（x）的图象可由g（x）=1+

2

sin2x如何变换得到？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，，然后代入f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，可求m
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，结合正弦函数的性质可求
（Ⅲ）把g（x）的图象向左平移

π

8

，即可得f（x）的图象．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）═

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，
由已知f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，…（4分）
∴当sin(2x+

π

4

)=-1时，f（x）的最小值为1-

2

，…（6分）
由sin(2x+

π

4

)=-1，得x值的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}…（8分）
（Ⅲ）∵f（x）=1=

2

sin（2x+

π

4

）=1+

2

sin2（x+

π

8

）
把g（x）的图象向左平移

π

8

，即可得f（x）的图象．…（10分）
注：若f（x）是用余弦表示，正确的同样给分．

点评：本题以向量的数量积的坐标表示为载体，主要考查了三角辅助角公式的应用，正弦函数最值的求解及取得最值条件的应用、函数图象平移法则的应用．