Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求在区间上的最大值；

（3）证明：对，不等式成立.（为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数，由导数的正负明确函数的单调区间；（2）对分类讨论，确定函数再上得单调性，从而可求函数的最大值；（3）先确定函数在上，恒有，即，结合（1）可证，从而可得，恒有，进而可得结论.

试题解析：（1）的定义域为， ，

由，得．

当时， ；当时， ．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）①当，即时， 在上单调递增，

∴．

②当时， 在上单调递减，

∴．

③当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，

∴

（3）由（1）知，当时， ，所以在上，恒有，即且当时等号成立．

因此，对，恒有．

∵，

∴，即，

∴．即对，不等式成立．