【题目】已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上,依次取点,
,
,
,并在第一象限内的抛物线
上依次取点
,
,
,
,
,使得
都为等边三角形,其中
为坐标原点,设第n个三角形的边长为
.
⑴求,
,并猜想
不要求证明);
⑵令,记
为数列
中落在区间
内的项的个数,设数列
的前m项和为
,试问是否存在实数
,使得
对任意
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由;
⑶已知数列满足:
,数列
满足:
,求证:
.
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【题目】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BEB.EF平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值
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【题目】某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017年12月,该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会,学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况,该校随机抽取100名学生进行调查,数据统计如下表,其中“√”表示参加,“×”表示未参加.
(Ⅰ)从该校所有学生中任取一人,试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率;
(Ⅱ)若在已抽取的100名学生中,2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人,求的值;
(Ⅲ)若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分,试估计该校4000名学生中,2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.
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【题目】党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?
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【题目】已知某服装厂每天的固定成本是30000元,每天最大规模的生产量是件.每生产一件服装,成本增加100元,生产
件服装的收入函数是
,记
,
分别为每天生产
件服装的利润和平均利润(
).
(1)当时,每天生产量
为多少时,利润
有最大值;
(2)每天生产量为多少时,平均利润
有最大值,并求
的最大值.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,过抛物线上一点
作抛物线
的切线
交
轴于点
,交
轴于点
,当
时,
.
(1)判断的形状,并求抛物线
的方程;
(2)若两点在抛物线
上,且满足
,其中点
,若抛物线
上存在异于
的点
,使得经过
三点的圆和抛物线在点
处有相同的切线,求点
的坐标.
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【题目】(本题14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据:
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;并指出x,y 是否线性相关;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,
)
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