Question

【题目】已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．

⑴求，，并猜想不要求证明)；

⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．

Answer 1

【答案】⑴，,；⑵；⑶详见解析

【解析】

，，进而猜想出．

.由，可得，，，，利用等比数列的求和公式即可得出.根据对任意恒成立即可得出范围．

，记，

可得，，

记，可得，根据当时，即可得出．

解：，

猜想

，由，

，，，

对任意恒成立

⑶证明：，记，

则

，记，

则

，

当时，可知：，