【题目】已知函数,.
(1)令,求函数的零点;
(2)令,求函数的最小值.
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【解析】
(1)函数零点的个数,就是方程的解的个数,显然是方程的一个解,再对a分类讨论,即得函数的零点;(2)令,可得,得,再对二次函数的对称轴分三种情况讨论得解.
(1)由,可知函数零点的个数,就是方程的解的个数,显然是方程的一个解;
当时,方程可化为,得,由函数单调递增,且值域为,有下列几种情况如下:
①当时,方程没有根,可得函数只有一个零点;
②当时,方程的根为,可得函数只有一个零点;
③当且时,方程的根为,由,可得函数有两个零点和;
由上知,当或时,函数的零点为;当且时,数的零点为和.
(2)令,可得,由, ,可得,二次函数的对称轴为,
①当时,即,此时函数的最小值为;
②当时,即,此时函数的最小值为;
③当,即,此时函数的最小值为.
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【题目】高血压高血糖和高血脂统称“三高”.如图是西南某地区从2010年至2016年患“三高”人数y(单位:千人)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请求出相关系数(精确到0.01)并加以说明;
(2)建立关于的回归方程,预测2018年该地区患“三高”的人数.
参考数据:,,,.参考公式:相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:.
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【题目】如图:设一正方形纸片ABCD边长为2分米,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形,沿虚线折起,恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计),图中,O为正四棱锥底面中心.
(Ⅰ)若正四棱锥的棱长都相等,求这个正四棱锥的体积V;
(Ⅱ)设等腰三角形APQ的底角为x,试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数,并求S的范围.
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【题目】已知函数(为常数).
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)是否存在正实数,使得对任意,都有,若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)当时, ,对恒成立,求整数的最大值.
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【题目】已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上,依次取点,,,,并在第一象限内的抛物线上依次取点,,,,,使得都为等边三角形,其中为坐标原点,设第n个三角形的边长为.
⑴求,,并猜想不要求证明);
⑵令,记为数列中落在区间内的项的个数,设数列的前m项和为,试问是否存在实数,使得对任意恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;
⑶已知数列满足:,数列满足:,求证:.
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