Question

【题目】已知函数（为常数）．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）是否存在正实数，使得对任意，都有，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）当时， ，对恒成立，求整数的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)2.

【解析】

（Ⅰ）由，讨论和导数的正负，从而可得函数的单调性；

（Ⅱ）由正实数a，结合（Ⅰ）的单调性可得，即g(x)=f(x)+在上单调递减，求导可得a对恒成立，分析不等式右边函数的最值即可；

（Ⅲ）由题意得lnx对恒成立，当x=1时，b； 又 b，通过证明b=2时不等式成立即可得解.

（Ⅰ）∵，．

∴（ⅰ）若，则恒成立f(x)在上单调递增；

（ⅱ）若，则．

令，解得；令，解得．

在上单调递减，在上单调递增．

综上：当时，f（x）在上单调递增；

当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）满足条件的a不存在．理由如下：

若，由（Ⅰ）可知，函数f(x)=alnx+在为增函数；

不妨设，

则，即

∴由题意：g(x)=f(x)+在上单调递减，

∴在上恒成立,即a对恒成立；

又在上单调递减；

∴a；故满足条件的正实数a不存在．

（Ⅲ）当a=1时，使对恒成立

即lnx对恒成立．

∴ 当x=1时，b； 又 b

下面证明：当b=2时，lnx对恒成立．

当b=2时，lnx．

设g(x)=，则．

易知： ，

∴当时，；当时，．

∴g(x)

即当b=2时，lnx对恒成立．∴