Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若函数与函数的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，.

①求的取值范围；

②求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，单调递增区间是；单调递减区间是.

（Ⅱ）①，②见解析

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，结合题中所给的的条件，令导数大于零和导数小于零，分别求出函数的单调增区间和单调减区间；

（Ⅱ）函数与函数的图像总有两个交点，等价于函数 有两个零点，对函数求导，研究函数的单调性，从而求得参数m的范围，之后根据两个零点的条件，以及函数图象的特点，证得结果.

（Ⅰ）由已知得，，

由，，令得：，

令得，

所以，当时，单调递增区间是；单调递减区间是.

（Ⅱ）令 ，

∴，

①解法一：由得，；由得，易知，为的极大值点.

，

当时，；当时，.

由题意，只需满足，

∴的取值范围是：.

解法二：，

由得，；由得，易知，为极大值点.

而在时取得极小值，

由题意，只需满足，解得.

②由题意知，，为函数 的两个零点，由①知，不妨设，则，且函数在上单调递增，

欲证，只需证明，而，

所以，只需证明.

令，则

∴

∵，∴，即

所以，，即在上为增函数，所以，，

∴成立，所以，.