Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在上的值域；

（2）若，函数在上的最大值是，求的取值范围；

（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）用换元法，设，将转化为一元二次函数，然后利用二次函数的性质得出结论。（2）将整理成，根据的范围可得在定义域上的最大值，再由的范围，可得。（3）设，在上恒成立等价于在上恒成立，根据二次函数的性质解不等式，即得。

（1） 当时，，设，则有，，那么，函数的对称轴为，故函数在定义域上单调递增，值域为.（2） 由题意得，，，，则当时，取到最大值，即，又，且，，，故取值范围是.（3） 设，所以在上恒成立等价于在上恒成立，这个二次函数开口朝上，在区间上的最大值在端点处取到，即只需即可，代入得，解得故实数的取值范围是.