Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象如图所示；
（1）求ω，φ；
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（ ，0），求θ的最小值．
（3）对任意的x∈[ ， ]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象，可得 = ，

求得ω=2．

再根据五点法作图可得2 +φ= ，求得φ=﹣ ，∴f（x）=2sin（2x﹣ ）

（2）解：将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin[2（x+θ）﹣ ]=2sin（2x+2θ﹣ ）的图象，

∵y=g（x）图象的一个对称点为（ ，0），∴2 +2θ﹣ =kπ，k∈Z，∴θ= ﹣ ，故θ的最小正值为

（3）解：对任意的x∈[ ， ]时，2x﹣ ∈[ ， ]，sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，即f（x）∈[﹣ ，2]，

∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[ ， ]时的图象可得，1≤m＜2．

【解析】（1）用五点法做函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小正值．（3）利用正弦函数的定义域和值域，结合函数f（x）的图象，求得m的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换(图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象)．