Question

【题目】（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.

（1）证明：直线 平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值

Answer 1

【答案】

（1）详见解析

（2）

【解析】（1）取中点，连接、、

∵、分别为、中点

∴，又∵

∴，∴四边形为平行四边形

∴平面

（2）取中点，连，由于为正三角形

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面，连，四边形为正方形。

∵平面，∴平面平面

而平面平面

过作，垂足为，∴平面

∴为与平面所成角，

∴

在中，，∴，

设，，，

∴，∴

在中，，∴

∴，，

以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，

，

设平面的法向量为，，∴

∴，而平面的法向量为

设二面角的大角为（为锐角）

∴。