Question

（2012•泸州模拟）在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

an+2

，若不等式3^m-2≥a_n对任何3^m-2≥a_n对任何n∈N^*恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，+∞）

B．（0，+∞）

C．（-∞，1]

D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由a1=1，an+1=

an

an+2

，猜想：an=

1

2n-1

．再用数学归纳法证明an=

1

2n-1

．故3^m-2≥a_n=

1

2n-1

对任何n∈N^*恒成立，等价于3m≥

1

2n-1

+2≥3对任何n∈N^*恒成立，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：∵知a1=1，an+1=

an

an+2

，
∴a2=

1

1+2

=

1

3

，
a3=

1 3

1 3 +2

=

1

7

，
a4=

1 7

1 7 +2

=

1

15

，
猜想：an=

1

2n-1

．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=

1

21-1

=1成立；
②假设n=k时，成立，即ak=

1

2k-1

，
则n=k+1时，ak+1=

ak

ak+2

=

1 2k-1

1 2k-1 +2

=

1

1+2•2k-2

=

1

2k+1-1

，也成立，
故an=

1

2n-1

．
∵3^m-2≥a_n=

1

2n-1

对任何n∈N^*恒成立，
∴3m≥

1

2n-1

+2≥3对任何n∈N^*恒成立，
∴m≥1，
故选A．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，合理猜想，并用数学归纳法证明猜想．注意等价转化思想的合理运用．