Question

如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC，AB⊥AC，点D是BC上一点，且AD⊥C₁D．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求二面角C-AC₁-D大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明面面垂直，需要先证明线面垂直，找出AD⊥平面BC₁，又AD?平面ABC，根据面面垂直的判断得到结论．
（2）根据有中点连中点的方法，做出辅助线，得到线与线平行，利用线面平行的判定定理得到结论．
（3）建立坐标系，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量，求出这个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量求出面面夹角的余弦值．

解答：解：（1）证明：依题意，C₁C⊥平面ABC，∵AD?平面ABC∴C₁C⊥AD，…（2分）
又AD⊥C₁D，∴C₁C∩C₁D=C₁∴AD⊥平面BC₁，又AD?平面ABC…（3分）
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（4分）
（2）证明：连接A₁C交AC₁于点E，则E是A₁C的中点，连接DE．…（5分）
由（1）知AD⊥平面BC₁，∴AD⊥BC，∴D是BC中点…（6分）
∴A₁B∥DE…（7分）
又∵DE?平面ADC₁，∵A₁B?平面ADC₁∴A₁B∥平面ADC₁．…（8分）
（3）如图，建立空间直角坐标系Axyz，设A₁A=AB=AC=2，
则A（0，0，0），D（1，1，0），C₁（0，2，2）．…（9分）

AD

=(1，1，0)，

AC1

=(0，2，2)，
设平面ADC₁的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m

•

AD

=0，

m

•

AC1

=0，
即

x+y=0 2y+2z=0

，令x=1，得y=-1，z=1，
∴

m

=(1，-1，1)．
取平面CAC₁的一个法向量为

n

=(1，0，0)，…（11分）
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

3 •1

=

3

3

．
所以二面角C-AC₁-D大小的余弦值为

3

3

．…（13分）

点评：本题考查空间向量求二面角及直线与平面的位置关系的证明，第一与第二两个小题主要应用线面关系的判断和性质定理，第三小题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算，降低了题目难度．