Question

如图，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为

3 10

10

．

Answer 1

分析：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），可得

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0）．
利用向量的夹角公式即可得出；
（2）利用共线定理和两个平面的法向量的夹角公式即可得出二面角的平面角．

解答：解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则 C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0）．
∴cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 | | BC |

=

-4

8 • 8

=-

1

2

，
故AA₁与棱BC所成的角是

π

3

．
（2）设

B1P

=λ

B1C1

=（2λ，-2λ，0），则P（2λ，4-2λ，2）．
设平面PAB的法向量为

n1

=（x，y，z），

AP

=(2λ，4-2λ，2)，
则

n1 • AP =λx+(2-λ)y+z=0 n1 • AB =2y=0

，
令x=1，则z=-λ，y=0．∴

n1

=(1，0，-λ)，
而平面ABA₁的法向量是

n2

=（1，0，0），
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

1

1+λ2

=

3 10

10

，解得λ=

1

3

，
即P为棱B₁C₁三等分点，其坐标为P(

2

3

，

10

3

，2)．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角、二面角等基础知识与基本技能方法，属于难题．