Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求证：A₁C₁⊥平面ABA₁B₁
（2）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）在线段B₁C₁上确定一点P，使AP=

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，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明：因为 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，得到A₁C₁⊥A₁B₁，因为顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，得到A₁B⊥AC，利用线面垂直的判断定理得到证明．
（2）建立空间直角坐标系，求出

AA1

=(0，2，2)，

BC

=

B1C1

=(2，-2，0)，利用向量的数量积公式求出棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）利用已知条件AP=

14

求出p的坐标，求出平面P-AB-A₁的法向量为

n1

，而平面ABA₁的法向量

n2

=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

解答：解：（1）证明：因为 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，
所以A₁C₁⊥A₁B₁
因为顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，
所以A₁B⊥AC
所以A₁B⊥A₁C₁
所以A₁C₁⊥平面ABA₁B₁…（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
所以

AA1

=(0，2，2)，

BC

=

B1C1

=(2，-2，0)．
所以cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 || BC |

=-

1

2

，
故AA₁与棱BC所成的角是

π

3

．          …（8分）
（3）设

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，-2λ，0)，则P（2λ，4-2λ，2）．
于是AP=

4λ2+(4-2λ)2+4

=

14

，
解得λ=

1

2

则P为棱B₁C₁的中点，其坐标为P（1，3，2）．                     …（10分）
设

n1

=（x，y，z），
则

x+3y+2z=0 2y=0

令z=1故

n1

=(-2，0，1)                               …（12分）
而平面ABA₁的法向量

n2

=（1，0，0），
则|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2 5

5

故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是

2 5

5

．               …（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．