Question

5．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=$\frac{π}{3}$，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

分析 AB∥平面OCD，点B和点A到平面OCD的距离相等．作AP⊥CD于点P，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．

解答 解：∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等．
作AP⊥CD于点P，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．
∵OP=$\sqrt{O{D}^{2}-D{P}^{2}}$=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}-D{P}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AP=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AQ=$\frac{OA•AP}{OP}$=$\frac{2}{3}$．
∴点B到平面OCD的距离为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查点到平面距离的计算，考查学生转化问题的能力，属于中档题．