Question

16．△ABC中，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，accosB=$\frac{27}{2}$，求b．

Answer 1

分析 由C=2A，求得cosB，由条件可得ac=24，再由C=2A，两边取正弦，结合二倍角公式和正弦定理，可得a，c的关系，解方程可得a，c，再由余弦定理，可得b=5．

解答 解：由C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，
则cosB=-cos（A+C）=-cos（3A）
=-（4cos³A-3cosA）=3×$\frac{3}{4}$-4×$\frac{27}{64}$=$\frac{9}{16}$，
由accosB=$\frac{27}{2}$，因cosB=$\frac{9}{16}$，则ac=24，
由C=2A，可得sinC=sin2A=2sinAcosA，
由正弦定理，可得c=2acosA=$\frac{3}{2}$a，与ac=24联立解得a=4，c=6，
由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB=16+36-2×4×6×$\frac{9}{16}$=25，
解得b=5．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．