Question

6．已知方程（512x²+m₁x+1）（512x²+m₂x+1）…（512x²+m₅x+1）=0的10个根组成一个首项为1的等比数列，则m₁+m₂+m₃+m₄+m₅=-1023．

Answer 1

分析 根据1是方程的根，代入方程得m₁，m₂，m₃，m₄，m₅中有一个为-513，从而得到另外一个根为$\frac{1}{512}$，从而确定公比，利用根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵方程有10个根，且有一个根为1，
即（512+m₁+1）（512+m₂+1）…（512+m₅+1）=0，
则（513+m₁）（513+m₂）…（513+m₅）=0，
则m₁，m₂，m₃，m₄，m₅中有一个为-513，
∵1+x=-$\frac{{m}_{i}}{512}$=$\frac{513}{512}$，
∴x=$\frac{1}{512}$，即a₁=1，a₁₀=$\frac{1}{512}$=$（\frac{1}{2}）^{9}$，即公比q=$\frac{1}{2}$
∴10个根即为1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，…$\frac{1}{512}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{{m}_{1}}{512}$，x₃+x₄=-$\frac{{m}_{2}}{512}$，…x₉+x₁₀=-$\frac{{m}_{5}}{512}$，
∴m₁+m₂+m₃+m₄+m₅=-512（x₁+x₂+x₃+…+x₉+x₁₀）=-512×$\frac{1×[1-（\frac{1}{2}）^{10}]}{1-\frac{1}{2}}$=-512[2-$（\frac{1}{2}）^{9}$]=-1024+1=-1023，
故答案为：-1023

点评 本题主要考查数列与函数的综合，结合等比数列的前n项和公式以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．