【题目】已知椭圆的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
的图像上运动时,点
在曲线
上运动,求曲线
的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形;
(3)过椭圆上异于其顶点的任意一点
作曲线
的两条切线,切点分别为
不在坐标轴上),若直线
在
轴,
轴上的截距分别为
试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1) (2)
,曲线
的图形是一个以坐标原点为圆心、
为半径的圆 (3)是定值,
【解析】
(1)由得
,再把点
坐标代入又得一方程,联立后可解得
得椭圆方程;
(2)设,用
表示
,把
代入椭圆方程可得曲线
方程,由方程可判断曲线形状;
(3)由(1)知,设点
,由
坐标可得切线方程,代入
点坐标于两切线方程后观察结论可得直线
方程,求出
,计算
,利用
在椭圆
上可得.
(1)由题意得,所以
又点在椭圆
上,所以
解得
所以椭圆的标准方程为
(2)设,则
,于是
,
由于点在椭圆
的图像上,
所以 即
整理得,
所以曲线的轨迹方程为
曲线的图形是一个以坐标原点为圆心,
为半径的圆.
(3)由(1)知,设点
则直线的方程为
①
直线的方程为
②
把点的坐标代入①②得
所以直线的方程为
令得
令
得
所以又点
在椭圆
上,
所以即
为定值.
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【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2,海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB,且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米,以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设点P的横坐标为p.
(1)求曲线段MPN的函数关系式,并指出其定义域;
(2)若某人从点O沿公路至点P观景,要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近,求p的取值范围.
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【题目】如图所示,在直角坐标系中,点
到抛物线
的准线的距离为
,点
是
上的定点,
、
是
上的两个动点,且线段
的中点
在线段
上.
(1)抛物线的方程及
的值;
(2)当点、
分别在第一、四象限时,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
的图像上运动时,点
在曲线
上运动,求曲线
的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形;
(3)过椭圆上异于其顶点的任意一点
作曲线
的两条切线,切点分别为
不在坐标轴上),若直线
在
轴,
轴上的截距分别为
试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sinxcosxcos2x+1
(1)求f(x)的最小正周期和最大值,并写出取得最大值时x的集合;
(2)将f(x)的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数,求φ的最小值.
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【题目】狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题:①此函数为偶函数,且有无数条对称轴;②此函数的值域是
;③此函数为周期函数,但没有最小正周期;④存在三点
,使得△ABC是等腰直角三角形,以上命题正确的是( )
A.①②B.①③C.③④D.②④
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【题目】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱AB与底面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直,路灯C采用锥形灯罩,射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示,路宽AD=24米,设
(1)求灯柱AB的高h(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小?最小值为多少?
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