【题目】狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题:①此函数为偶函数,且有无数条对称轴;②此函数的值域是
;③此函数为周期函数,但没有最小正周期;④存在三点
,使得△ABC是等腰直角三角形,以上命题正确的是( )
A.①②B.①③C.③④D.②④
【答案】B
【解析】
①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断;②根据的取值得到值域;③根据周期性的定义进行分析;④先假设存在,然后推理证明是否存在.
①的定义域为
关于原点对称,当
为有理数时,
,当
为无理数时,
,
所以恒成立,所以
是偶函数,
取非零有理数,当
为有理数时,
,当
为无理数时,
,
所以恒成立,
有无数种可能,所以
有无数条对称轴;
②因为的取值只有
,所以
的值域为
;
③取有理数,当
为有理数时,
,当
为无理数时,
,
所以恒成立,
有无数种可能,所以
是周期函数且无最小正周期;
④设存在满足条件,
根据函数值域可知,的可能组合为:两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数,
(1)不妨设为有理数,
为无理数,因为
为等腰直角三角形,所以
只能为
的斜边,
所以,所以
为有理数,与假设矛盾,故不成立;
(2)不妨设为无理数,
为有理数,因为
为等腰直角三角形,所以
只能为
的斜边,
所以,所以
为无理数,与假设矛盾,故不成立,
综上可知:不存在三点使得为等腰直角三角形.
故选:B.
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,其中
,
,
,
,
为棱
上的点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设为棱
上的点(不与
,
重合),且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】已知数列中,
,前
项和为
,且
.
(1)求,
的值;
(2)证明:数列是等差数列,并写出其通项公式;
(3)设(
),试问是否存在正整数
,
(其中
,使得
,
,
成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数对
;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
的图像上运动时,点
在曲线
上运动,求曲线
的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形;
(3)过椭圆上异于其顶点的任意一点
作曲线
的两条切线,切点分别为
不在坐标轴上),若直线
在
轴,
轴上的截距分别为
试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】甲、乙两名射击运动员在进行射击训练,已知甲命中10环,9环,8环的概率分别是,
,
,乙命中10环,9环,8环的概率分别是
,
,
,任意两次射击相互独立.
(1)求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率;
(2)现在甲、乙两人进行射击比赛,每一轮比赛两人各射击1次,环数高于对方为胜,环数低于对方为负,环数相等为平局,规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者,比赛结束,求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率
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【题目】海水稻就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻,具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来,我国的海水稻研究取得了阶段性成果,目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各株,测量了它们的根系深度(单位:
),得到了如下的茎叶图,其中两竖线之间表示根系深度的十位数,两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数,则下列结论中不正确的是( )
A.海水稻根系深度的中位数是
B.普通水稻根系深度的众数是
C.海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
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【题目】
已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,点
是椭圆的一个顶点,△
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上一动点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)过点分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,
且,探究:直线
是否过定点,并说明理由.
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【题目】如图,A、B是海岸线OM、ON上两个码头,海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为、
,测得
,
,以点O为坐标原点,射线OM为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,一艘游轮以
小时的平均速度在水上旅游线AB航行(将航线AB看作直线,码头Q在第一象限,航线BB经过点Q).
(1)问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟?
(2)海中有一处景点P(设点P在平面内,
,且
),游轮无法靠近,求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.
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