【题目】
已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,点
是椭圆的一个顶点,△
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上一动点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)过点分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,
且,探究:直线
是否过定点,并说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)直线
过定点(
).
【解析】
试题(1)求椭圆方程一般利用待定系数法求解,由题意得△中
,因此
,从而
(2)求轨迹问题,一般根据题意选择对应方法,本题涉及相关点,采取转移法,即设
的中点坐标为
,点
,则
,再代入
,可得轨迹方程
(3)研究直线过定点问题,一般先利用坐标表示直线方程,再利用方程恒成立问题求相应定点,解题关键为将直线方程表示为点斜式,即将y轴截距用斜率表示
试题解析:(1)由已知可得,所求椭圆方程为
.
(2)设点,
的中点坐标为
, 则
由
,
得
代入上式 得
(3)若直线的斜率存在,设
方程为
,依题意
.
设,
,由
得
.
则. 由已知
,
所以,即
.
所以,整理得
.故直线
的方程为
,即
(
)
.所以直线
过定点(
).
若直线的斜率不存在,设
方程为
,设
,
,由已知
,得
.此时
方程为
,显然过点(
).
综上,直线过定点(
).
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【题目】狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题:①此函数为偶函数,且有无数条对称轴;②此函数的值域是
;③此函数为周期函数,但没有最小正周期;④存在三点
,使得△ABC是等腰直角三角形,以上命题正确的是( )
A.①②B.①③C.③④D.②④
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数在区间
上有最大值4,最小值1,设函数
.
(1)求、
的值及函数
的解析式;
(2)若不等式在
时恒成立,求实数
的取值范围;
(3)如果关于的方程
有三个相异的实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱AB与底面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直,路灯C采用锥形灯罩,射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示,路宽AD=24米,设
(1)求灯柱AB的高h(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小?最小值为多少?
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【题目】如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
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