【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2,海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB,且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米,以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设点P的横坐标为p.
(1)求曲线段MPN的函数关系式,并指出其定义域;
(2)若某人从点O沿公路至点P观景,要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近,求p的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2)见解析.
【解析】
(1)由题意得M(1,8),则a=8,即得曲线段的函数关系式,可得其定义域;
(2)由函数关系式设点P坐标,设直线AB方程,将直线方程与曲线方程联立求出A,B坐标,即可求出最短长度p的取值范围
(1)由题意得M(1,8),则a=8,故曲线段MPN的函数关系式为,
又得,所以定义域为[1,10].
(2),设AB:
由得kpx2+(8﹣kp2)x﹣8p=0,
△=(8﹣kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0,
∴kp2+8=0,∴,得直线AB方程为
,
得,B(2p,0),故点P为AB线段的中点,
由即p2﹣8>0,
得时,OA<OB,
所以,当时,经点A至P路程最近.
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【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】(数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考第16题) 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:已知椭圆的标准方程为 ,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于______.
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【题目】关于函数,有下列四个命题:①
的值域是
;②
是奇函数;③
在
上单调递增;④方程
总有四个不同的解;其中正确的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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【题目】(本小题满分12分)已知圆,圆
,动圆
与圆
外切并且与圆
内切,圆心
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆
,圆
都相切的一条直线,
与曲线
交于
,
两点,当圆
的半径最长时,求
.
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【题目】已知数列的各项均为整数,其前n项和为
.规定:若数列
满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第
项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列
为“r关联数列”.
(1)若数列为“6关联数列”,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求出,并证明:对任意
,
;
(3)若数列为“6关联数列”,当
时,在
与
之间插入n个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列,求
,并探究在数列
中是否存在三项
,
,
其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,其中
,
,
,
,
为棱
上的点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设为棱
上的点(不与
,
重合),且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是________________.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
的图像上运动时,点
在曲线
上运动,求曲线
的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形;
(3)过椭圆上异于其顶点的任意一点
作曲线
的两条切线,切点分别为
不在坐标轴上),若直线
在
轴,
轴上的截距分别为
试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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