Question

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为-

1

2

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，若对满足条件的任意直线l，不等式

QM

•

QN

≤λ恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为 -

1

2

建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（2）设点M，N的坐标，当直线l垂直于x轴时，分别表示出

QM

和

QN

，进而可求得

QM

•

QN

；再看直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出

QM

•

QN

判断出其范围，综合求得

QM

•

QN

的最大值，根据

QM

•

QN

≤λ恒成立，求得λ的最小值．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），则直线PA，PB的斜率分别是

y-1

x

，

y+1

x

，
由条件得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

2

，-----------------2分
即

x2

2

+y2=1(x≠0)动点P的轨迹C的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0)-----------------6分分（注：无x≠0扣1分）
（2）设点M，N的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
ⅰ）当直线l垂直于x轴时，x1=x2=-1，y1=-y2，

y

2 1

=

1

2

∴

QM

=(-3，y1)，

QN

=(-3，y2)=(-3，-y1)
∴

QM

•

QN

=(-3)2-

y

2 1

=

17

2

---------------10分
ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x+1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0----------11分
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

， x1x2=

2k2-2

1+2k2

----------------12分
∴

QM

•

QN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2
又∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
∴

QM

•

QN

=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4-----------------13分
=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＜

17

2

-------------------14分
综上所述

QM

•

QN

的最大值是

17

2

----------------15分
∴λ的最小值为

17

2

-----------------------16分

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了知识的综合运用，分析推理和基本的运算能力．