Question

设

i

、

j

为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量

p

=(x+m)

i

+y

j

，

q

=(x-m)

i

+y

j

，（x，y∈R，m≥2），且|

p

|-|

q

|=4．
（1）求动点M（x，y）的轨迹方程？并指出方程所表示的曲线；
（2）已知点A（0，1}，设直线l：y=

1

2

x-3与点M的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得

AB

•

AC

=

9

2

？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F₁（-m，0），F₂（m，0）的距离之差4．讨论m的值，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．
（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）∵向量

p

=(x+m)

i

+y

j

，

q

=(x-m)

i

+y

j

，（x，y∈R，m≥2），且|

p

|-|

q

|=4，
∴点M（x，y）到两个定点F₁（-m，0），F₂（m，0）的距离之差4．
由定义得：
当m=2时，M的轨迹是一条射线，方程为：
y=0，（x≥2）…（2分）
当m＞2时，M的轨迹是一支双曲线，方程为：
 

x2

4

-

y2

m 2-4

=1（x≥2）． …（6分）
（2）∵直线l与M点轨迹交于B、C两点，
∴M的轨迹方程为：
 

x2

4

-

y2

m 2-4

=1（x≥2）．
由

y= 1 2 x-3 x2 4 - y2 m 2-4 =1

⇒（m²-5）x²+12x-36-4（m²-4）=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-12

m 2-5

，x₁x₂=

-4m 2-20

m 2-5

，

AB

•

AC

=

9

2

，
∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=

9

2

，
∴

5

4

x₁x₂-2（x₁+x₂）+16=

9

2

，
∴m²=9，m=±3，
∵m≥2，∴m=3．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，