Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n-na_n=-n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n-2015，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=a_n-2015=2n-2016，令b_n≥0，解得n．即可得出数列{b_n}的前n项和T_n取得最小值时的n的值．

解答 解：（1）∵S_n-na_n=-n²+n，
∴当n≥2时，S_n-1-（n-1）a_n-1=-（n-1）²+（n-1），a_n-na_n+（n-1）a_n-1=2-2n，
化为a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=a_n-2015=2n-2016，
令b_n≥0，解得n≥1008．
∴当n=1007或1008时，数列{b_n}的前n项和T_n取得最小值．
T₁₀₀₈=$\frac{1008×（-2014+0）}{2}$=-1015056．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．