Question

已知函数f(x)=x3+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，则下列正确说法的序号是

 

．
①f（0）=0；②f（x）是偶函数；③f（x）在[0，

π

2

]上单调递减；④若f(x)≤f(

π

3

)，则x的取值范围是-

π

2

≤x≤

π

3

．

Answer 1

分析：求出f（0）的值，判断①的正误；通过函数的奇偶性判断②的正误；利用函数的单调性判断③f（x）在[0，

π

2

]上单调性；通过函数的单调性，推出不等式f(x)≤f(

π

3

)，x的取值范围判断④的正误．

解答：解：∵函数f(x)=x3+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，．
对于①，f（0）=0³+sin0=0，∴①正确；
对于②，∵f（-x）=f（x）=-x³-sinx=-f（x），函数是奇函数，∴②函数是偶函数的判断不正确；
对于③，f(x)=x3+sinx，x∈[0，

π

2

]是增函数，∴f（x）在[0，

π

2

]上单调递减，不正确；
对于④，若f(x)≤f(

π

3

)，即x3+sinx≤

π3

27

+

3

2

，∵函数f(x)=x3+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]是增函数，
∴x的取值范围是-

π

2

≤x≤

π

3

，判断正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查函数的单调性函数的奇偶性，函数值的求法，命题的真假的判断，基本知识的应用．