Question

设函数f（x）=x³-2x
（1）求函数的单调区间；
（2）若过点（1，a）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，求a范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x）=3x²-2，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，解不等式，从而f（x）在（-∞，-

6

3

），（

6

3

，+∞）递增，在（-

6

3

，

6

3

）递减；
（2））因f′（x）=3x²-2，设切点（k，k³-2k），从而斜率K=3k²-2，求出a=-2k³+3k²-2，只需满足y=a和y=-2k³+3k²-2有3个解得即可，画出函数y=-2k³+3k²-2的图象，一目了然．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞

6

3

，或x＜-

6

3

，
令f′（x）＜0，解得：-

6

3

＜x＜

6

3

；
∴f（x）在（-∞，-

6

3

），（

6

3

，+∞）递增，在（-

6

3

，

6

3

）递减；
（2））∵f′（x）=3x²-2，设切点（k，k³-2k），
∴斜率K=3k²-2，
∴a=-2k³+3k²-2，
∴只需满足y=a和y=-2k³+3k²-2有3个解得即可，
画出函数y=-2k³+3k²-2的图象，
如图示：
∴-2＜a＜-1．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透数形结合思想，转化思想，是一道综合题．