Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC中点，AA₁=AB=a．
（Ⅰ）求证：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD-B余弦值的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C-AB₁D的体积．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明BB₁⊥AD，BC⊥AD，可得AD⊥面BB₁D，即可证明AD⊥B₁D；
（Ⅱ）证明∠BDB₁二面角B₁-AD-B的平面角，从而可求二面角B₁-AD-B余弦值的大小；
（Ⅲ）利用VC-AB1D=VB1ADC，即可求三棱锥C-AB₁D的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁正三棱柱，D是BC中点
∴BB₁⊥AD，BC⊥AD
∵BB₁∩BC=B，
∴AD⊥面BB₁D，
∴AD⊥B₁D
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AD⊥面BB₁D
∴AD⊥B₁D，BC⊥AD，
∴∠BDB₁二面角B₁-AD-B的平面角
在RT△BB₁D中BB₁=a，BD=

1

2

a，
∴cos∠BDB₁=

5

5

（Ⅲ）解：由图知VC-AB1D=VB1ADC，AA₁=AB=a
∴VC-AB1D=VB1ADC=

1

3

S_△ADCBB₁=

3

24

a3．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，考查三棱锥体积的计算．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．