Question

已知P是曲线C：y=xⁿ（n∈N^﹡）上异于原点的任意一点，过P的切线l分别交X轴，Y轴于Q、R两点，且

PQ

=

1

2

QR

，求n的值．

Answer 1

分析：设点P（p，pⁿ），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=p处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出，求出点Q和点R的坐标，然后根据

PQ

=

1

2

QR

建立等式关系，即可求出n的值．

解答：解：设点P（p，pⁿ），y'=nx^n-1，y'|_x=p=np^n-1
∴曲线C在点P的切线方程为y-pⁿ=np^n-1（x-p）
令x=0，y=（1-n）pⁿ；即R（0，（1-n）pⁿ）
令y=0，x=

(n-1)p

n

，即Q（

(n-1)p

n

，0）
∵

PQ

=

1

2

QR

，
∴-pⁿ=

1

2

（1-n）pⁿ，解得：n=3
故n的值为3．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用平行向量与共线向量进行解题，属于基础题．