Question

16．已知函数f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数，且在[0，2）上为减函数，使 f（m）+f（2m-1）＞0．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是奇函数，将不等式f（m）+f（2m-1）＞0移项，整理得f（m）＞f（1-2m）．因为函数是定义在（-2，2）上的减函数，所以有-2＜m＜1-2m＜2，解之即得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（m）+f（2m-1）＞0
∴移项，得f（m）＞-f（2m-1）
又∵f（x）在（-2，2）上为奇函数
∴-f（2m-1）=f（1-2m）
且-2＜2m-1＜2…①，
∴f（m）＞f（1-2m）
又∵f（x）在[0，2）上为减函数，
∴f（x）是定义在（-2，2）上的减函数
∴m＜1-2m且-2＜m＜2…②，
联解①②，得-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{3}$，∴实数m的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题给出一个定义在（-2，2）上的抽象函数，在已知其单调性和奇偶性的情况下，解关于m的不等式，着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．