Question

（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。

（1）试用的代数式分别表示和；

（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）

Answer 1

（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以

                 则 ……………. 2分

         令则……………. 4分

         同理可得：，……………. 6分

（2）由（1）可知：……………. 8分

         在椭圆C：上，，

           则（定值）

是与和点位置无关的定值         …………. 12分

（3）第一层次：

①点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……………. 16分

证明如下：由（1）知：  

         在圆C：上，，

           则

是与和点位置无关的定值

②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……………. 16分

证明如下：由（1）知：  

         在双曲线C：上，，

           则

是与和点位置无关的定值

第二层次：

点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………. 18分      

证明如下：由（1）知： ，

在抛物线C：上，

则

是与和点位置无关的定值