Question

已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．

 

Answer 1

（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4.（2）2

【解析】(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2

(r>0)，根据题意得解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2