Question

命题p：关于x的不等式ax²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立；命题q：?x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0．
若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：关于x的不等式ax²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立，对a分类讨论：当a=0时，直接验证即可；当a≠0时，则

a＞0 △＜0

，解出即可．命题q：?x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0，则x∈[0，1]，a＞（4^x-2^x）_max．利用指数函数和二次函数的单调性即可得出．由p∨q为真，而p∧q为假，可得p与q必然一真一假．即可得出．

解答： 解：命题p：关于x的不等式ax²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立，
当a=0时，化为1＞0恒成立，因此a=0满足条件；当a≠0时，则

a＞0 △＜0

，解得0＜a＜4，综上可得a的取值范围是[0，4）；
命题q：?x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0，则x∈[0，1]，a＞（4^x-2^x）_max．
令f（x）=4^x-2^x=(2x-

1

2

)2-

1

4

，x∈[0，1]，
∴当x=1时，f（x）取得最大值，f（1）=2，∴a＞2．
∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p与q必然一真一假．
当p真q假时，则

0≤a＜4 a＞2

，解得2＜a＜4；
当q真p假时，则

a＜0或a≥4 a≤2

，解得a＜0．
综上可得：实数a的取值范围是a＜0或2＜a＜4．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、指数函数和二次函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．